Биография
Родился 19 февраля (3 марта н. ст.) 1862 года в городе Харькове (по другим данным — в Киеве), в семье Николая Николаевича Бекетова — основателя физико-химической науки, академика Императорской Академии Наук.
Получил образование на архитектурном факультете Академии художеств в Санкт-Петербурге, у профессоров Д. И. Гримма и А. И. Кракау в 1882—1888 годах. Работал в то же время у известного петербургского архитектора М. Е. Месмахера, участвуя в проектах дворца Великого князя Михаила Михайловича, здания архива Государственного совета и др.
Звание академика архитектуры получил в 1894 году за проект здания Общественной библиотеки на полтора миллиона томов, с 1921 носящей имя библиотека Короленко, крупнейшей библиотеки Восточной Украины.
В значительной мере сформировал архитектурный облик города Харькова (более 40 зданий), особенно Нагорного района, улиц Пушкинской, Мироносицкого переулка и Садово-Куликовской.
Около 60 зданий по его проектам также построены в Крыму (Симферополь, Алушта), Киеве, Ростове-на-Дону, Екатеринославе, Лубнах, Новочеркасске, Белгороде, Баку, Донецке и городах Донбасса (Горловке, Макеевке и других).
Бекетов воспитал целое поколение молодых русских и советских архитекторов, которые учились в технологическом (ХПИ), институте искусств (ХХПИ), инженерно-строительном (ХИСИ) и институте инженеров коммунального хозяйства (ХИИКС) в Харькове. Среди его учеников известные архитекторы А. Н. Душкин, Я. Г. Лихтенберг, В. Г. Кричевский.
Был женат на дочери южнорусского горнопромышленника Алексея Алчевского Анне (1868—1931), которая была художницей.
Скончался 23 ноября 1941 года в оккупированном немцами Харькове.
Был похоронен на городском кладбище на месте нынешнего Молодёжного парка. Во второй половине 1970-х годов, перед ликвидацией кладбища, прах был перенесён на тринадцатое городское кладбище Харькова далее по улице Пушкинской.
Архитектурный архив Алексей Бекетова находится в Центральном государственном научно-техническом архиве Украины в Харькове.